Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

• a x + b = 0
• a x² + bx + c = 0
• a x⁴ + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela está escrita na forma:

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação:

tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes se usa também a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

Uma equação do segundo grau na incógnita x é uma equação do tipo:

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

• 2 x² + 7x + 5 = 0
• 3 x² + x + 2 = 0

Uma equação do segundo grau é incompleta se o coeficientes b ou c são nulos, juntos ou separadamente. Mesmo na equação incompleta o coeficiente a é sempre diferente de zero.

Exemplos:

• 4 x² + 6x = 0
• 3 x² + 9 = 0
• 2 x² = 0

• Equações do tipo ax²=0

  Basta dividir toda a equação por a para obter:

  x² = 0

  significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

• Equações do tipo ax²+c=0

  Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

  x² = -c/a

  Se –c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

  Se –c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

• Equações do tipo ax²+bx=0

  Neste caso, fatoramos a equação para obter:

  x (ax + b) = 0

  e a equação terá duas raízes:

  x' = 0 ou x" = -b/a

• A equação 4x²=0 tem duas raízes nulas.
• A equação 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"=-R[2]
• A equação 4x²+5=0 não tem raízes reais.
• A equação 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.

• x² + 6x = 0
• 2 x² = 0
• 3 x² + 7 = 0
• 2 x² + 5 = 0
• 10 x² = 0
• 9 x² - 18 = 0

Como vimos, uma equação do tipo:

é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula de Bhaskara, que também pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

• Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

• Se D=0, há duas soluções iguais:
  x' = x" = -b / 2a

• Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau e analisando os tipos de raízes da equação.

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes existe o link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

• Identificar os coeficientes
  a = 1 , b = -5 , c = 6

• Escrever a fórmula do discriminante
  D = b² - 4ac

• Calcular o discriminante
  D = (-5)² - 4.1.6 = 25 - 24 = 1

• Escrever a fórmula de Bhaskara:
  

• Substituir os coeficientes a, b e c na fórmula de Bhaskara:
  x' = (1/2) (5 + R[1]) = (5+1) / 2 = 3
  x" = (1/2) (5 - R[1]) = (5-1) / 2 = 2

1. Calcular o discriminante de cada equação e analise as raízes em cada caso:
   • x² + 9 x + 8 = 0
   • 9 x² - 24 x + 16 = 0
   • x² - 2 x + 4 = 0
   • 3 x² - 15 x + 12 = 0
   • 10 x² + 72 x - 64 = 0

2. Resolva as equações:
   • x² + 6 x + 9 = 0
   • 3 x² - x + 3 = 0
   • 2 x² - 2 x - 12 = 0
   • 3 x² - 10 x + 3 = 0

São equações do 2o. grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

• Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

  Consideremos o caso:

  3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

  x deve ser diferente de 3 e também diferente de +2 e de -2, logo, podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:

  MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)

  Reduzindo as duas frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:

  [3(x - 3) + 1(x² - 4)] / (x² - 4)(x - 3) = 0

  o que significa que o numerador deverá ser:

  3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0

  que desenvolvido nos dá:

  3x - 9 + x² - 4 = 0 ou seja x² + 3x - 13 = 0

  que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.

• (x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)

  O mínimo múltiplo comum entre (2x-1) e (x+4) é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x=-4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos:

  (x+3)(x+4)=2x(2x-1)
  x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
  -3x² + 9x + 12 = 0
  3x² - 9x - 12 = 0
  x² - 3x - 4 = 0
  (x-4).(x+1)=0
  Solução: x'=4 ou x"=-1

• 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

  O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e MMC somente se anulará se x=2 ou x=-2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos:

  3 + (x+2)=0
  Solução: x=-5

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:

• x + 6 / x = -7
• (x+2) / (x+1) = 2x / (x-4)
• (2-x) / x + 1 / x² = 3 / x
• (x+2) / (x-2) + (x-2) / (x+2) = 1

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

para gerar

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:

• x⁴ - 13 x² +36 =0

  Tomando y=x², teremos

  y² - 13 y + 36 =0

  cujas raízes são

  y' = 4 ou y" = 9

  Assim:

  x² = 4 ou x² = 9

  o que garante que o conjunto solução é:

  S = { 2, -2, 3, -3}

• x⁴ - 5 x² -36 = 0

  Tomando y=x², teremos

  y² - 5 y - 36 =0

  cujas raízes são

  y' = -4 ou y" = 9

  Assim:

  x² = -4 ou x² = 9

  o que garante que o conjunto solução é:

  S = {3, -3}

• x⁴ + 13 x² +36 =0

  Tomando y=x², teremos

  y² + 13 y + 36 =0

  cujas raízes são

  y' = -4 ou y" = -9

  Assim:

  x² = -4 ou x² = -9

  o que garante que o conjunto solução é vazio.