Uma visão geral sobre sequências

Uma sequência real é uma função f definida sobre o conjunto N={1,2,3,4,...} dos números naturais.

Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto N e cuja imagem está contida em R (conjunto dos números reais).

Muitas vezes, a sequência (função) é confundida com a Imagem da função (conjunto de números), no entanto, esta confusão até mesmo colabora para o entendimento do significado de uma sequência no âmbito do Ensino Médio.

Um fato importante é que a função determina a regra que os elementos do conjunto imagem devem seguir.

Na sequência, apresentaremos exemplos de sequências reais e os seus respectivos conjuntos imagens.

• Sequência natural
  A imagem é representada pelo conjunto dos números naturais.
  f : N R definida por f(n) = n
  Im(f) = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

• Sequência dos inversos
  A imagem é representada pelo conjunto dos inversos dos números naturais.
  

  f : N R definida por f(n) = 1/n

  Im(f) = { 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... }

• Sequência constante
  

  A imagem é representada por um conjunto unitário.

  f : N R definida por f(n) = 2

  Im(f) = { 2, 2, 2, 2, ... } = { 2 }

• Sequência alternada
  A imagem é representada por um conjunto de números que fica alternando o sinal, sendo que um é negativo e o subsequente positivo, e assim por diante.

  f : N R definida por f(n) = (-1)ⁿ n

  Im(f) = { -1, +2, -3, +4, -5, +6, ... }

• Sequência aritmética
  Cada termo do conjunto imagem é a soma do anterior com um número fixo denominado razão.
  

  f : N R definida por f(n) = a₁ + (n-1).r

  Im(f) = { a₁, a₁+r, a₁+2r, a₁+3r, ..., a₁+(n-1)r, ...}

• Sequência geométrica
  Cada termo do conjunto imagem é o produto do anterior por um número fixo denominado razão.
  

  f : N R definida por f(n) = a₁.q^n-1

  Im(f) = { a₁, a₁q, a₁q², a₁q³, ..., a₁q^n-1, ...}

• Sequência de Fibonacci
  A imagem é representada por um conjunto de tal forma que cada elemento a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores.

  f : N R definida por f(n+2) = f(n+1) + f(n), f(1)=f(2)=1

  Im(f) = { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... }

  A sequência de Fibonacci é um exemplo de uma sequência recursiva, isto é, uma sequência que é definida em função de seus termos anteriores.

Média aritmética

Dados n números reais x₁, x₂, x₃, ..., x_n, definimos a média aritmética entre estes números, denotada pela letra x com um traço sobre a mesma, como a divisão entre a soma desses números e o número de elementos, isto é:

Média geométrica

Dados n números reais positivos x₁, x₂, x₃, ..., x_n, definimos a média geométrica entre estes números, denotada pela letra g, como a raiz n-ésima do produto entre estes números, isto é:

Antecedente é o termo que está imediatamente antes do termo sob análise e consequente é o termo que fica imediatamente após o elemento sob análise.

Na sequência aritmética, cada termo é a média aritmética entre o antecedente e o consequente do termo tomado, enquanto na sequência geométrica, cada termo é a média geométrica entre o antecedente e o consequente do termo tomado, daí a razão de tais denominações para estas sequências.

As sequências aritméticas e geométricas são muito estudadas no âmbito do Ensino Médio sob o nome de "Progressões aritméticas e geométricas".

As sequência geométricas são aplicadas a estudos para a obtenção do montante de um valor capitalizado periodicamente, assim como em estudos de Taxas de juros, Financiamentos e Prestações. Tais sequências também aparecem em estudos de decaimento radioativo (teste do Carbono 14 para a análise da idade de um fóssil ou objeto antigo).

No Ensino Superior tais sequências aparecem em estudos de Sequências e Séries de números e de funções, sendo que a série geométrica (um tipo de sequência obtida pelas somas de termos de uma sequência geométrica) é muito importante para a obtenção de outras séries.

As sequências de Fibonacci aparecem de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza. O livro "A divina proporção", Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto.

Sequências aritméticas

Uma sequência aritmética já foi definida antes e é normalmente escrita na forma:

O primeiro termo de uma sequência é indicado por a₁ e o n-ésimo termo por a_n e como a diferença entre dois termos consecutivos é a razão r, temos que:

Como temos n-1 linhas então, somando membro a membro os elementos da primeira coluna e da terceira coluna e realizando os cancelamentos possíveis, obteremos:

e temos a fórmula do termo geral de uma sequência aritmética:

Observemos a sequência aritmética tomada como exemplo:

Neste caso:

• a₁ = 1
• r = 2
• a_n = 101

1. Qual é o número de termos desta "PA" ?
2. Qual é o trigésimo termo desta "PA" ?

Observemos que no caso da sequência apresentada, a soma dos extremos é igual a 102, a soma do segundo termo com o penúltimo termo é também 102, a soma do terceiro termo com o ante-penúltimo termo é 102, e em geral, a soma de termos equidistantes dos extremos é sempre igual a a₁ + a_n.

Em geral, em uma PA, temos:

Obteremos agora a fórmula para a soma dos n termos de uma sequência aritmética.

Se

então

assim

Temos então a fórmula da soma dos termos de uma PA:

Sequências geométricas

Uma sequência geométrica já definida antes e é normalmente escrita na forma:

Como a divisão (quociente) entre dois termos consecutivos é a razão q, temos que:

Como temos n-1 linhas então, multiplicando membro a membro os elementos da primeira coluna e da terceira coluna e realizando os cancelamentos possíveis, obteremos:

e temos a fórmula do termo geral de uma sequência geométrica:

Observemos como exemplo a sequência aritmética:

Neste caso:

• a₁ = 2
• q = 2
• a_n = 1024

Pode-se perguntar:

1. Qual é o número de termos desta "PG" ?
2. Qual é o oitavo termo desta "PG" ?

De forma similar ao que ocorre com as sequências aritméticas, observemos que no caso da sequência apresentada, o produto dos extremos é igual a 2048, o produto do segundo termo com o penúltimo termo é também 2048, o produto do terceiro termo com o ante-penúltimo termo é 2048, e em geral, o produto de termos equidistantes dos extremos é sempre igual a a₁ . a_n.

Obteremos agora a fórmula para a soma dos n termos de uma sequência geométrica.

Se

então, multiplicando todos os termos da igualdade acima pela razão q, teremos:

e esta última expressão pode ser escrita como:

assim

ou seja

Obtendo o valor de S na expressão acima, obtemos:

Exercício

Você conhece alguma sequência que cada termo é a média harmônica dos termos antecedente e consequente?