Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:

Uma relação importante em N×N é:

S_mn = {(i,j): 1im, 1j n}

Uma matriz real (complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto S_mn associa um número real (complexo).

Uma forma muito comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m x n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

• Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é mxn.
• Na tabela acima a posição de cada elemento a_ij = a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
• Indicamos uma matriz A pelos seus elementos como: A=[a(i,j)].
• A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
• Matriz quadrada é a que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
• A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:
  a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)
• Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
• Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.
• Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.
• Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
• Matriz identidade , denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
• Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Matriz 4x4 de números reais:

Matriz 4x4 de números complexos:

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:

Matriz nula com três linhas e duas colunas:

Matriz identidade com três linhas e três colunas:

Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem mxn, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem mxn, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.

A1: Associativa
Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, vale a igualdade:

A2: Comutativa
Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem mxn, vale a igualdade:

A3: Elemento neutro
Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:

A4: Elemento oposto
Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:

E1: Multiplicação pelo escalar 1
A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:

E2: Multiplicação pelo escalar zero
A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:

E3: Distributividade das matrizes
Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

E4: Distributividade dos escalares
Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem mxn e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:

para todo par (u,v) em S_mr.

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

• multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
• multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
• multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
• multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
• somar os quatro produtos obtidos anteriomente.

Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.

Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade
Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:

M2: Distributividade da soma à direita

M3: Distributividade da soma à esquerda

M4: Associatividade

M5: Nulidade do produto
Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: A.B = 0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

M6: Nem sempre vale o cancelamento
Se ocorrer a igualdade A.C = B.C, então nem sempre será verdadeiro que A = B, pois existem exmplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

mas as matrizes A e B são diferentes.

1. Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:
   A^k = 0

2. Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:
   A^k+1= A

3. Uma matriz A é idempotente, se:
   A² = A

4. As matrizes A e B são comutativas, se:
   A.B = B.A

5. As matrizes A e B são anti-comutativas, se:
   A.B = - B.A

6. A matriz identidade I_d multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido.
   I_d . A = A

7. A matriz A será a inversa da matriz B, se:
   A.B =I_d e B.A = I_d

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem mxn, definimos a transposta da matriz A como a matriz

e se observa aqui, que as linhas de A se transformam nas colunas de A^t.

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.

Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A + A^t é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A - A^t é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A = S + T, e neste caso: