Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto universo que representa o contexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos trabalhando no conjunto dos números racionais, a equação 2x+7=0, terá uma única solução dada por:

assim, o conjunto solução será:

no entanto, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o conjunto vazio, isto é:

Analogamente, se tentarmos obter o conjunto solução para a equação x²+1=0 sobre o conjunto dos números reais, teremos como resposta o conjunto vazio, isto é:

o que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos o desenvolvimento da equação pelos métodos comuns, obteremos:

x =

onde é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado prático e foi por esta razão que este número foi chamado imaginário, mas o simples fato de substituir pela letra i (unidade imaginária) e realizar operações como se estes números fossem polinômios, faz com que uma série de situações tanto na Matemática como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva à teoria dos números complexos.

Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma

onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:

Exemplos de tais números são apresentados na tabela.

Observação : O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

• Igualdade de números complexos: Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, definimos a igualdade entre z e w, escrevendo
  z = w   <=>   a = c e b = d

  Para que os números complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e y=3.

• Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexo denotado por -z=-(a+bi), isto é:
  -z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i

  O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i.

• Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número complexo denotado por z^-=a-bi, isto é:
  z^- = conjugado(a+bi) = a + (-b)i

  O conjugado de z = 2-3i é o número complexo z^- = 2+3i.

Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:

Observação : Estas operações nos lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx) + (c+dx) = (a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo que aparece na forma:

de forma que devamos trocar x² por -1.

Exemplos:

Se z=2+3i e w=4-6i, então

z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i

Se z=2+3i e w=4-6i, então

z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i

da unidade imaginária

Quando tomamos i = temos uma série de valores muito simples para as de i:

Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão do expoente por 4.

Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i⁴⁰², i⁴⁰³³ e i¹⁹⁹⁸

Como exemplo:

Ao pensar um número complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b) no plano cartesiano, a multiplicação de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta em um outro número complexo w=-b+ai, que formi um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z=a+bi dado.

Exercício: Tomar um número complexo z, multiplicar por i para obter z1=i.z, depois multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i.z1. Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou então use a inteligência para descobrir algum fato geométrico significativo neste contexto. Após constatar que você é inteligente, faça um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.

Dado um número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b deve ser diferente de zero) podemos definir o inverso deste número complexo como o número z^-1=u+iv, tal que

O produto de z pelo seu inverso z^-1 deve ser igual a 1, isto é:

o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são diferentes de zero), fornecendo:

assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:

Exemplo: O inverso do número complexo z=5+12i é

Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um número complexo, por exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se :

1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fração

2. Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z

3. Lembrar que i² = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes.

Observação : Na última igualdade (proporção) o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

A diferença entre os números complexos z=a+bi e z=a+bi é definida como o número complexo obtido pela soma entre z e -w,(isto é:

Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i, é:

A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w^-1, isto é:

Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e também o denominador da fração z/w pelo conjugalo de w:

Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser repzesentado geometricamente no plano cartesiano, como sendo um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do número complexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendo que o número complexo 0=0+0i é representado pela própria origem (0,0) do sistema.

No gráfico anterior podemos observar que existe um triângulo retângulo cuja hipotenusa correspondente à distância entre a origem 0 e o número complexo z, normalmente denotada pela letra grega ro, o cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a do número complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z.

Desse modo, se z = a + b i é um número complexo, então:

e a medida da hipotenusa será por definição, o módulo do número complexo z, denotado por |z|, isto é:

O ângulo formado entre o segmento OZ e o eixo OX, aqui representado pela letra grega alfa, é denominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da trigonometria circular temos as três relações:

Por experiências com programação na Internet, observei que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o argumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.

Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadas anteriormente, podemos escrever:

e assim temos a forma polar do número complexo z:

Consideremos os números complexos

onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n são os argumentos destes números complexos z e w.

Podemos realizar o produto entre estes números da forma usual e depois reescrever este produto na forma:

Este fato é garantido pelas relações:

Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo. Como

então

Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i, cujo módulo é igual à raiz quadrada de 2 e o argumento é igual a 1/4 de pi (45 graus). Para elevar este número à potência 16, basta escrever:

Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a possibilidade de extrair a raiz de ordem 4 de um número complexo, mesmo que ele seja um número real negativo, o que significa, resolver uma equação algébrica do 4o. grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número -16, basta encontrar as quatro raízes da equação algébrica x⁴+16=0.

Antes de seguir em nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número complexo w, necessitamos antes de tudo, saber o seu módulo r e o seu argumento t, o que significa poder escrever:

O primeiro passo é realizar um desenho mostrando es|e número complexo w em um círculo de raio r e observar o argumento t, dado pelo angulo entre o eixo OX e o número complexo w.

O passo seguinte é obter um outro número complexo z1 cujo módulo seja a raiz quarta de r e cujo argumento seja t/4. Este número complexo é a primeira das quatro raizes complexas procuradas.

As outras raízes serão:

e todas elas aparecem no gráfico:

Observação: O processo para obter as quatro raízes do número complexo w ficou muito facilitado pois conhecemos a propriedade geométrica que o número complexo i multiplicado por outro número complexo, roda este último de 90 graus e outro fato interessante é que todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a mesma circunferência e os ângulos formados entre duas raízes consecutivas é de 90 graus. Se os quatro números complexos forem ligados, aparecerá um quadrado rodado de t/4 radianos em relação ao eixo OX.

Antes de continuar, apresentaremos a importantíssima relação de Euler:

que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado 2,71828... Para facilitar a escrita usamos frequentemente:

Observação: A partir da relação de Euler, é possível construir uma relação notável envolvendo os mais importantes sinais e constantes da Matemática:

Voltemos agora à exp(i.t). Se multiplicarmos o número e^i.t por um número complexo z, o resultado será um outro número complexo rodado de t radianos em relação ao número complexo z. Por exemplo, se multiplicarmos o número complexo z por

obteremos um número complexo z1 que forma com z um ângulo pi/8=22,5^o, no sentido anti-horário.

Iremos agora resolver a equação xⁿ=w, onde n é um número natural e w é um número complexo dado. Da mesma forma que antes, podemos escrever o número complexo

e usar a relação de Euler, para obter:

Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo número complexo

Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada por:

onde k varia de 2 até n.

Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x⁸=-64, observamos a posição do número complexo w = -64 + 0 i, constatando que o seu módulo é igual a 64 e o argumento é um ângulo raso (pi radianos = 180 graus).

Aqui a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é pi/8, então z₁ pode ser escrita na forma polar:

As outras raízes serão obtidas pela multiplicação do número complexo abaixo, através de qualquer uma das três formas:

ou ainda pela forma simplificada:

Assim:

z(2) = z(1).
z(3) = z(2).
z(4) = z(3).
z(5) = z(4).
z(6) = z(5).
z(7) = z(6).
z(8) = z(7).

Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8 números complexos e ligue todas as raízes consecutivas para obter um octógono regular rodado de 22,5 graus em relação ao eixo OX. Tente comparar este método com outros que você conhece e realize exercícios para observar como aconteceu o aprendizado.

Existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma:

e todas as propriedades dos números complexos, podem ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples.