Apresentaremos o desenvolvimento teórico do método de Tartaglia, também conhecido como método de Cardano, uma vez que este último tornou público o trabalho de Tartaglia como sendo de sua autoria. Detalhes históricos sobre estes assuntos podem ser obtidos na segunda bibliografia citada no final desta página.

Uma equação geral do terceiro grau na variável x, é dada por:

e se o coeficiente a do termo do terceiro grau é não nulo, dividiremos esta equação por a para obter:

e assim consideraremos só as equações em que o coeficiente de x³ seja igual a 1, isto é, equações da forma geral:

onde A=b/a, B=c/a e C=d/a. Fazendo a substituição de translação:

na equação acima, obteremos:

e tomando

p = ( B - A²/ 3)
q = C-AB/3 +(2/27) A³

Como toda equação desta forma possui pelo menos uma raiz real, nós encontraremos esta raiz na forma y = u + v . Substituindo y por u+v, na última equação, obteremos:

o que equivale a

Usando esta última equação e impondo a condição para que:

teremos encontrado valores de u e v para os quais y = u + v deverá ser uma raiz da equação. Estas duas últimas condições implicam que:

Considerando u³ e v³ como variáveis, o problema equivale a resolver uma equação do segundo grau da forma:

Assim, resolveremos a equação do segundo grau:

para obter as partes u e v da primeira raiz:

Tomando o discriminante desta última equação, definido por:

e utilizando a fórmula de Bhaskara (que, como o próprio Bhaskara relatou em um trabalho, não é de sua autoria mas sim do matemático hindu Sridhara), teremos:

A raiz r₁ da equação original

dependerá da translação realizada no início e será dada por:

Como r₁ é uma raiz, utilizaremos a divisão

para obter a polinomial de segundo grau:

com o resto igual a:

que será nulo ou muito próximo de zero se o valor for aproximado.

Os zeros desta última polinomial de segundo grau, poderão ser obtidos facilmente e as outras duas raízes dependerão do valor d2 que é o discriminante desta última polinomial.

Através da análise destes valores, poderemos conhecer as características das raízes da equação:

Na verdade, a construção das raizes não é simples e consideraremos duas possibilidades: D negativo ou D não negativo.

• Se D é negativo, devemos calcular a sequência de valores:
  E = (-D)^1/2
  r = ((1/4)q² + E²)^1/2
  t = arccos(-q/2r);

  sendo que as três raízes reais serão dadas por:

  r1 = 2 r^1/3.cos(t/3)) - A/3;
  r2 = 2 r^1/3.cos((t+2*pi)/3)) - A/3;
  r3 = 2 r^1/3.cos((t+4*pi)/3)) - A/3.

• Se D é não negativo, devemos calcular a sequência de valores:
  E = D^1/2
  u3 = -q/2 + E
  v3 = -q/2 - E
  u = (u3)^1/3
  v = (v3)^1/3

  sendo que a primeira raiz será:

  r1 = u + v - A/3

  Para obter as outras raizes, deve-se calcular:

  d2 = (A+r1)² + 4.C/r1

  e considerar as duas possibilidades sobre d2:

  1. Se d2 é negativo: r2 = -(A+r1)/2 + (1/2).(-d2)^1/2
     r3 = -(A+r1)/2 -(1/2).(-d2)^1/2

  2. Se d2 é não negativo: r2 = -(A+r1)/2 + (1/2).(d2)^1/2
     r3 = -(A+r1)/2 - (1/2).(d2)^1/2

Exercício: Resolver as equações, usando os passos acima expostos:

1. x³ - 6 x - 9 = 0
2. x³ - 6 x - 40 = 0
3. x³ + 3 x + 2 = 0
4. x³ - 3 x - 2 = 0
5. x³ - 6 x - 4 = 0
6. x³ + 2 x² - 8 x + 5 = 0

Cálculo rápido: Para resolver estas equações rapidamente, vá ao link Cálculo das Raízes: Equação do 3o. grau. O código fonte está escrito na linguagem JavaScript e pode ser utilizado no meio científico desde que ocorra a citação da fonte.

Referências bibliográficas:

1. Equações Algébricas (Notas de aulas), Ulysses Sodré, Universidade Estadual de Londrina, Departamento de Matemática, CCE, 1998.
2. O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1997.
3. A Equação do Terceiro Grau, Elon Lages Lima, Revista Matemática Universitária, No.5, Junho/1987.