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Polinômios e Equações algébricas
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Definições e características de polinômios

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R->R definida por:

p(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn

onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante.

Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R-->R definida por:

f(x) = a x2 + bx + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x) = 2 x2 + 7x -12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2(3)2 + 7(3) - 12 = 2(9) + 21 -12 = 18 + 9 = 27

Grau de um polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

Igualdade de polinômios

Os polinomios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn
e
q(x) = bo + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + ... + bn xn

são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak = bk

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio:

p(x) = ao + a1 x + a2 x2+a3 x3 + ... + an xn

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak= 0

O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].

O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = ao + a1 x +a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn

cujo termo constante é

ao = 1
e
ak = 0

para todo k=1,2,3,...,n.

Soma de polinômios

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:

p(x) =ao+a1x + a2x2+a3x3 + ... +anxn
e
q(x) =bo+b1x + b2x2+b3x3 + ... +bnxn

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) =(ao+bo)+ (a1+b1)x + (a2+b2)x2 + ... + (an+bn)xn

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p + q = q + p

Elemento neutro: Existe um polinômio po(x) = 0 tal que

po + p = p

qualquer que seja p em P[x].

Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=(-p) em P[x] tal que

p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

Produto de polinômios

Sejam p, q em P[x], dados por:

p(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn
e
q(x) = bo + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + ... + bn xn

Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

r(x) = co + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + ... + cn xn
tal que:
ck=ao bk+a1bk-1+a2 bk-2+a3bk-3+...+ak-1 b1+akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que cada termos soma que gera ck, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado.

A estrutura matemática (P[x],*) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p * q) * r = p * (q * r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p * q = q * p

Elemento nulo: Existe um polinômio po(x) = 0 tal que

po * p = po

qualquer que seja p em P[x].

Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x) = 1 tal que

p1 * p = p

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.

Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios

Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

p * (q + r) = p * q + p * r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,*) é denominada anel comutativo com identidade.

Espaço vetorial dos polinômios reais

Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.

O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma:

p=(ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.

A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio

p(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.

Esta forma de notação

p=(ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.

Sejam p e q em S, tal que:

p=(ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...)
e
q=(bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)

e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como:

p+q=(ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

k.p=(kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)

e o produto de p e q em S como:

p*q=(co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)

sendo que

ck=aobk+a1bk-1+a2bk-2+a3bk-3+...+ak-1b1+akbo

para cada ck (k=1, 2, 3, ..., m+n).

O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

Características do Grau de um polinômio

Se gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p*q) = m + n = gr(p) + gr(q)
gr(p+q) < max { gr(p), gr(q) }

Algoritmo da divisão de polinômios

Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que

p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m < n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r) < gr(g), tal que:

p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos:

g(x) = x-c
e
p(x)=ao+a1x+a2x2 +a3x3+...+anxn

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

xk-ck=(x-c)(xk-1+c xk-2+c2xk-3+...+ck-2x+ck-1)

então para

p(x)=ao+a1x+a2x2+a3x3+...+anxn
temos que

p(c)=ao+a1c+a2c2+a3c3+...+ancn

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c)=a1(x-c)+a2(x2-c2)+a3(x3-c3)+...+an(xn-cn)

o que garante que podemos colocar em evidência g(x)=x-c para obter

p(x) - p(c) = (x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1.

Assim podemos escrever:

p(x) = (x-c) q(x) + p(c)

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

Zeros de um polinômio

Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.

Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:

x-c é um fator de p em P[x] <=> r(x)=f(c)=0

o que é equivalente a:

c é um zero de p em P[x] <=> x-c é um divisor de p=p(x)

Equações Algébricas e Transcendentes

Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.

Exemplos:

A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo de x:

ex=1+x+x2/2!+x3/3!+x4/4!+x5/5!+...

assim, a equação

x2 + 7x = ex

não é uma equação algébrica.

Uma equação é transcendente se, e somente se, não é algébrica.

Quando a equação é da forma:

p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.

Exemplos:

Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.

Exemplo: 3x2 + 7x1/2 = 2x+3 é uma equação irracional.

Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.

Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.

Métodos de resolução algébrica

Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.

Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática subjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."

Teorema Fundamental da Álgebra

Algumas identidades polinomiais

Ver o link Produtos Notáveis nesta mesma página onde existem 33 identidades polinomiais, sendo algumas não triviais.

Algumas desigualdades polinomiais

Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:

onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.

Há vários livros de Matemática dedicados somente a desigualdades pois uma grande parte da Matemática é construída através deste conceito. Áreas onde existem muitas aplicações para as desigualdades são a Análise Matemática e a Programação Linear.

Página ainda em construção por Ulysses Sodré
Atualizada em: November 25, 2000.