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Introdução aos conjuntos Alguns conceitos primitivos Algumas notações para conjuntos Subconjuntos Alguns conjuntos especiais Reunião de conjuntos		Interseção de conjuntos Propriedades dos conjuntos Diferença de conjuntos Complemento de um conjunto Leis de Augustus de Morgan Diferença Simétrica

Introdução aos conjuntos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.
Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, Paul Halmos ou Axiomatic Set Theory, P. Suppes.
O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivos

Conjunto
- O conjunto de todos os brasileiros
- O conjunto de todos os números naturais
- O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A,B,C,...,Z.
Elemento
- José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
- 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
- -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x ² - 4 = 0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a,b,c,...,z.

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Pertinência
- José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
- 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
- -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x ² - 4 = 0.
Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo: , que se lê: "pertence". Para afirmar que 1 é um número natural, escrevemos:

Para afirmar que 0 não é um número natural, escrevemos:

Um símbolo matemático para a negação é a barra /.

Algumas notações para conjuntos

Um conjunto é denotado, muitas vezes com elementos dentro de duas chaves { e }, através de duas formas básicas e de uma forma geométrica:

Apresentação
Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
- A = { a, e, i, o, u }
- N = { 1, 2, 3, 4, ... }
- M = { João, Maria, José }
Propriedade
O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
- A = { x : x é uma vogal}
- N = { x : x é um número natural}
- M = { x : x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler")
Os conjuntos são mostrados graficamente.

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por , se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio
Conjunto que não tem elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo
É o conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U quadrada. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades dos conjuntos

Fechamento
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, então a reunião de A e B, denotada por A U B e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.
Reflexiva
Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A U A = A
A A = A
Inclusão
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A A U B, B A U B
A B A , A B B
Inclusão relacionada
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AB <=> AUB=B
AB <=> AB=A
Associativa
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A U ( B U C ) = ( A U B ) U C
A(BC) = (AB)C
Comutativa
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AUB=BUA
AB=BA
Elemento neutro para a reunião
O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U Ø=A
Elemento "nulo" para a interseção
Se tomarmos a interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, teremos o próprio conjunto vazio.
AØ=Ø
Elemento neutro para a interseção
O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U = A
Distributiva
Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A ( B U C ) = ( A B ) U ( A C )
A U ( B C ) = ( A U B ) (A U C )

Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C B_A, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c colocada como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto.

Alguns exemplos especiais são:

Leis de Augustus De Morgan
O complementar da reunião de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

O complementar da interseção de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

Diferença simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

Exercício: A partir de conjuntos A, B e C, mostrar que:
1. A=Ø se, e somente se, B é a diferença simétrica entre A e B.
2. Com base no ítem anterior, concluir que o conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. A diferença simétrica entre A e A é o conjunto vazio.
6. A interseção entre A e a diferença simétrica de B e C é distributiva, isto é:
7. A diferença simétrica entre A e B está propriamente contida na reunião das diferenças simétricas de A e C e de B e C, isto é:

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